Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция хa, показательная функция ax, тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

,

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x2), 0 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x) - А½ < e.

  Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции. Так, если функция f определена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точке х, а 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию ½х’ - x ½ < d, ½x'' — x½ < d, x'  ¹ x, x'’ ¹ x, выполняется неравенство ½f (x'' ) — f (x')½ < e.

  Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида , ,  и т.д.; в этих случаях функция f  называется бесконечно большой при х ® х, При х ® х + 0 или При х ® +¥ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x) > e.

  Расширение понятия предела функции. Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x, кроме, быть может, самой точки x, определяется понятие предела функции по множеству Е

,

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х Î Е.  П. последовательности xn, n = 1, 2,..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n) = xn, n = 1, 2,....

  Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при х ® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х ® 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например . Распространяется понятие П. и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

  Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла. Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b]. Совокупность {xi} таких точек xi, что

  a = x