,

если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение {xi} отрезка [a, b], для которого Dxi  < d, и каковы бы ни были точки xi, xi-1  £ xI  £ xi, i = 1, 2,..., n, выполняется неравенство

½f (x1)Dx1 + f (x2)Dx2 +... + f (xn)Dxn  - A| < e.

  Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.

  Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Например, можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Е называется направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений А Ì В или B Ì A и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а называется пределом функции f по направлению S, если для любого e > 0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство |f (x) — а|