Эти формулы справедливы в предположении, что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П. частного xn/yn надо ещё дополнительно потребовать, чтобы .   Если xn £ yn и последовательности xn и yn, n = 1, 2,... сходятся, то

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из xn 0, n = 1, 2,... однако ). Если  и xn £ zn £ yn, то последовательность zn, n = 1, 2,..., сходится к тому же П.:

  Последовательность an, n = 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой). Так, например, последовательность 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n + 1),... имеет своим П. единицу, поскольку разность 1 — n/(n + 1) = 1/(n + 1), n = 1, 2,... является бесконечно малой последовательностью.

  Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числа а обозначить через an приближённое значение его корня  (k — натуральное число) с n десятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то an £ an+1 £ , n = 1, 2, …, поэтому последовательность an, сходится, причём из неравенства 0 £  - an £ 10-n следует, что . Др. примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине которой сходится эта последовательность.

  Для того чтобы сходилась произвольная последовательность xn, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа e > 0 существует такой номер Ne, что для всех номеров m ³ Ne и n ³ Ne выполняется неравенство |xn — xm| < e.

  Если последовательность xn, n = 1, 2,..., такова, что для числа e > 0 существует такой номер ne, что для всех номеров n ³ ne выполняется неравенство |xn| > e, то последовательность xn, называется бесконечно большой и пишется

  Если же при этом для любого e > 0 существует такой номер ne, что xn > e (соответственно xn < -e) для всех n ³ ne, то пишется (соответственно )

  Эти П. называются бесконечными. Например, . В случае же последовательности n2, n = 1, 2, …,, можно написать не только  но и более точное равенство . Само собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные П. переносятся далеко не все свойства конечных П. Например, последовательности xn = n и yn =  — n бесконечно большие, а последовательность xn + yn,, n = 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

  Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. П. (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности xn, n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается  (соответственно ). Например,

  Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом e > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — e, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + e.

  Предел функции. Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x, кроме, быть может, само'й точки x. Функция f имеет П. в точке x, если для любой последовательности точек xn, n = 1, 2,..., xn ¹ x, стремящейся к точке x, последовательность значений функции f (xn) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x, (или при x ® x) при этом пишется

или

f (x) ® A при x ® x

  В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

  Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А называется пределом функции f в точке x, если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х ¹ x, удовлетворяющих условию ½х — x½