, yi ³ 0, i = 1, 2, …, k.

  Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств.

  На основе теоремы Куна — Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.

  В М. п. одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке xk Î X выбирается направление спуска sk, то есть одно из направлений, по которому функция j(x) убывает, и вычисляется xk+1 = p(xk + aksk), где p(xk + aksk) означает проекцию точки xk + aksk на множество X:

  ,

число ak > 0 выбирается при этом так, чтобы j(xk +1) < j(xk). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда sk = —grad j(xk). В М. п. доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {хk}, построенная методом проекции градиента, такова, что   стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии.

  Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач М. п. является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи М. п., связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.

  Важным направлением исследования в М. п. являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач — задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач — так называемому процессу регуляризации.

  М. п. как наука сформировалось в 50—70-х годах 20 века. Это обусловлено главным образом развитием электронных вычислительных машин, а следовательно, с возможностью проводить математическую обработку больших потоков информации, и на этой основе решать задачи управления и планирования, где применение математических методов связано в первую очередь с построением математических моделей и соответствующих им экстремальных задач, в том числе задач М. п.

  Лит.: Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И., Линейное и выпуклое программирование, 2 изд., М., 1967; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, перевод с английского, М., 1967.

  В. Г. Карманов.

Матенадаран

Матенадара'н, Институт древних рукописей «Матенадаран» имени Месропа Маштоца при Совете Министров Армянской ССР, крупнейшее в мире хранилище древнеармянских рукописей и научно-исследовательский институт в Ереване. Создан на базе национализированной в 1920 коллекции рукописей Эчмиадзинского монастыря. Здание М. построено в 1959 (архитектор М. Григорян). Фонды М. (на 1972) насчитывают 12 960 армянских манускриптов и свыше 100 тысяч старинных архивных документов, около 2000 рукописей на арабском, персидском и других языках. Рукописи М. имеют большую научную и историческую ценность как важнейшие первоисточники для изучения истории и духовной культуры Армении, а также соседних народов Кавказа, Ближнего и Среднего Востока. В М. хранятся рукописи 5—18 веков, уникальная коллекция первопечатных и старопечатных армянских книг 16—18 веков, сочинения древних и средневековых армянских историков, писателей, философов, математиков, географов, врачей, переводы трудов древнегреческих, сирийских, арабских и латинских учёных, в том числе ряд сочинений, не сохранившихся на языке оригинала. В музее М. экспонируются лучшие образцы древнеармянской письменности и миниатюры. Многие рукописи представляют большую художественную ценность (например, «Лазаревское евангелие», 887, «Эчмиадзинское евангелие», 989, «Евангелие Мугни», 11 век). В М. ведётся научно-исследовательская работа: изучение и публикация памятников армянской письменности, исследование проблем армянской текстологии, источниковедения, палеографии, средневековой книжной живописи, историографии, научные переводы памятников на русский и другие языки. С 1940 издаётся сборник «Банбер Матенадарани» («Вестник Матенадарана» на армянском языке с резюме на русском и французском языках).

  Лит.: Абрамян А. Г. Рукописные сокровища Матенадарана, Ер.; 1959; Абгарян Г. В., Матенадаран, Ер., 1962; Бакши Ким, Орёл и меч, М., [1971].

  С. С. Аревшатян.

Торос Рослин(?). Миниатюра из рукописи «Чашоц». 1286. Матенадаран. Ереван.

М. В. Григорян. Матенадаран (хранилище древних рукописей) в Ереване. 1959.

Григор. Миниатюра из Евангелия Таргманчац. 1232. Матенадаран. Ереван.

Миниатюра из Евангелия Мугни. 11 в. Матенадаран. Ереван.

Матера

Мате'ра (Matera), город на юге Италии, в области Базиликата. Административный центр провинции Матера. 44,6 тысячи жителей (1971). Производство железнодорожного оборудования, а также керамических и терракотовых изделий и оливкового масла.

Материализм

Материали'зм (от латинского materialis — вещественный), одно из двух главных философских направлений, которое решает основной вопрос философии в пользу первичности материи, природы, бытия, физического, объективного и рассматривает сознание, мышление как свойство материи в противоположность идеализму, принимающему за исходное дух, идею, сознание, мышление, психическое, субъективное. Признание первичности материи означает, что она никем не сотворена, а существует вечно, что пространство и время суть объективно существующие формы бытия материи, что мышление неотделимо от материи, которая мыслит, что единство мира состоит в его материальности. Материалистическое решение второй стороны основного вопроса философии — о познаваемости мира — означает убеждение в адекватности отражения действительности в человеческом сознании, в познаваемости мира и его закономерностей. Слово «М.» начали употреблять в 17 веке главным образом в смысле физических представлений о материи (Р. Бойль), а позднее в более общем, философском смысле (Г. В. Лейбниц) для противопоставления М. идеализму. Точное определение М. впервые дали К. Маркс и Ф. Энгельс, «философы разделились на два больших лагеря», сообразно тому, как отвечали они на вопрос об отношении мышления к бытию. «Те, которые утверждали, что дух существовал прежде природы... составили идеалистический лагерь. Те же, которые основным началом считали природу, примкнули к различным школам материализма» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Сочинения, 2 изд., т. 21, с. 283). Такого понимания М. придерживался и В. И. Ленин (см. Полное собрание сочинений, 5 изд., т. 18, с. 98).