Специальное М. о. разрабатывается пользователями ЦВМ для решения своих конкретных задач с учётом всех возможностей, представляемых общим М. о. В состав специального М. о. могут входить трансляторы с новых языков (не входящие в общее М. о.), разработанные пользователем дополнительные программы контроля ЦВМ, программы решения отдельных задач или классов задач и т. п. Как исключение, в состав М. о. могут входить программы, дополняющие операционную систему. В особых случаях программы, входящие в состав специального М. о., разрабатывают непосредственно на языке машины, для того чтобы исключить использование операционной системы. Это делают тогда, когда к разрабатываемым программам предъявляются высокие требования, которым операционная система не удовлетворяет.

  Лит.: Ледли Р. С., Программирование и использование цифровых вычислительных машин, перевод с английского, М., 1966; Флорес А., Программное обеспечение, перевод с английского, М., 1971; Джермейн К. Б., Программирование на IBM-360, перевод с английского, М., 1971; Липаев В. В., Колин К. К., Серебровский Л. А., Математическое обеспечение управляющих ЦВМ, М., 1972; Виленкин С. Я., Трахтенгерц Э. А., Математическое обеспечение управляющих вычислительных машин, М., 1972; Тараканов К. В., Общие принципы и структура математического обеспечения автоматизированных систем управления в сборнике: Цифровая вычислительная техника и программирование, в. 7, М., 1972.

  Н. А. Криницкий.

Математическое образование

Математи'ческое образова'ние, см. в статье Механико-математическое образование.

Математическое ожидание

Математи'ческое ожида'ние, среднее значение, одна из важнейших характеристик распределения вероятностей случайной величины. Для случайной величины X, принимающей последовательность значений y1, y2, ..., yk, ... с вероятностями, равными соответственно p1, p2, ..., pk, …, М. о. определяется формулой

  (в предположении, что ряд  сходится). Так, например, если Х — число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости (X принимает каждое из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6), то .

  Для случайной величины, имеющей плотность вероятности р(у), М. о. определяется формулой

  .

М. о. характеризует расположение значений случайной величины. Полностью эта роль М. о. разъясняется больших чисел законом. При сложении случайных величин их М. о. складываются, при умножении двух независимых случайных величин их М. о. перемножаются. М. о. случайной величины eitX, то есть f (t) = Eeitxz, где t — действительное число, носит название характеристической функции.

  Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965.

  Ю. В. Прохоров.

Математическое программирование

Математи'ческое программи'рование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

  М. п. — раздел науки об исследовании операций (см. Операций исследование), охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи М. п. находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.

  Наименование «М. п.» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.

  Математическая формулировка задачи М. п.: минимизировать скалярную функцию j(x) векторного аргумента х на множестве

  X = {x: gi(x) ³ 0, hi(x) = 0, I = 1, 2, ..., k},

  где gi(x) и hi(x) — также скалярные функции; функцию j(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи М. п. — оптимальной точкой (вектором).

  В М. п. принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция j(x) и ограничения gi(x) и hi (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции

при линейных ограничениях

  , i = 1, 2, …, m,

либо все величины cj, aij, bi, либо часть из них случайны.

  Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.

  В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть

  ,

  X = {x: gi(x) ³ 0, i = 1, 2, ..., k},

необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*1, у*2, ..., у*k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа

  Последнее означает, что

  L(x*, y) £ L(x*, y*) £ L(x, у*)

для любых х и всех у ³ 0. Если ограничения gi(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.

  Если функции j(x) и gi(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку

  , j = 1, 2, …, n;

  ; ; i = 1, 2, …, k;