Интегральные уравнения

Интегра'льные уравне'ния, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить изображение линейного объекта А , занимающего отрезок 0 £ x £ l оси Ox , причём освещённость объекта характеризуется плотностью u (x ). Изображение В представляет собой некоторый отрезок другой оси x 1 ; последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком 0 £ x 1 £ l . Если дифференциально малый участок (х , х + Dх ) объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K (x1 , x )u (x )dx , где функция K (x 1 , x ) определяется свойствами оптического прибора, то полная освещённость изображения будет иметь плотность

В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v (x 1 ) изображения или «точного» фотографического изображения [v (x ) = ku (x ), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [u (x ) — v (x ) = f (x )], приходят к различным И. у. относительно функции u (x ):

Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида

линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,—уравнение вида

[при f (x ) º 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром l:

Во всех уравнениях функция

— так называемое ядро И. у. — известна, так же, как функция f (x ) (а £ х £ b ); искомой является функция u (x ) (а £ х £ b ).

  Функции K (x, y ), f (x ), u (x ) и параметр уравнения l могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K (x , y ) обращается в нуль при у > х , получается уравнение Вольтерра:

  И. у. называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K (x , y ) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата а £ х £ b, а £ y £ b или на некоторой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение

Рассматриваются также нелинейные И. у., например уравнения вида

или

  Линейные И. у. 2-го рода решаются следующими методами: 1) решение u (x ) получается в виде ряда по степеням l (сходящегося в некотором круге |l| 1, то интеграл понимается в смысле главного значения:

И. л. введён в математический анализ Л. Эйлером в 1768. И. л. li(x ) связан с интегральной показательной функцией Ei(x ) соотношением li(x ) = Ei(lnx ). Для больших положительных х функция li(x ) растет как x / lnx. И. л. играет важную роль в аналитической теории чисел, так как число простых чисел, не превосходящих х, приблизительно равно li(x ).

  Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968.