,     (*)

где  — импульс свободно движущейся частицы (массы m). Если частица с энергией E движется в потенциальном поле V (x), не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен . Простейшим обобщением уравнения (*) является поэтому уравнение

.     (7)

  Оно называется стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к основным уравнениям К. м. Решение этого уравнения зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала V (x). Рассмотрим несколько типичных случаев.

  1) V = const, E > V. Решением является волна де Бройля y = Ceikx, где  E - V — кинетическая энергия частицы.

  2) Потенциальная стенка:

  V = 0 при х < 0,

  V = V1 > 0 при х > 0.

  Если полная энергия частицы больше высоты стенки, т. е. E > V1, и частица движется слева направо (рис. 3), то решение уравнения (7) в области x < 0 имеет вид двух волн де Бройля — падающей и отражённой:

,

где

(волна с волновым числом k = –k соответствует движению справа налево с тем же импульсом p), а при х > 0 — проходящей волны де Бройля:

, где .

  Отношения |C1/C2|2 и |C'/C|2 определяют вероятности прохождения частицы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения — специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): «классическая» частица проходит над барьером, и лишь импульс её уменьшается до значения .

  Если энергия частицы меньше высоты стенки, E 0 отрицательна. В классической механике это невозможно, и частица не заходит в такую область пространства — она отражается от потенциальной стенки. Волновое движение имеет др. характер. Отрицательное значение  означает, что k — чисто мнимая величина, k = ic, где c вещественно. Поэтому волна eikx превращается в e—cx, т. е. колебательный режим сменяется затухающим (c > 0, иначе получился бы лишённый физического смысла неограниченный рост волны с увеличением х). Это явление хорошо известно в теории колебаний. Под энергетической схемой на рис. 4, а (и рис. 4, б) изображено качественное поведение волновой функции y(х), точнее её действительной части.

  3) Две области, свободные от сил, разделены прямоугольным потенциальным барьером V, и частица движется к барьеру слева с энергией E 0 «классическая» частица проходит над ямой и удаляется от неё. Отличие квантовомеханического движения от классического состоит в том, что происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ничем не ограничены — энергия частицы имеет непрерывный спектр. При E < 0 частица оказывается «запертой» внутри ямы. В классической механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях E < 0. В К. м. ситуация существенно меняется. Волновая функция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е—c|х|. Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях E, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискретных значений En может быть конечным или бесконечным, но оно всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение E (лежащее выше дна потенциальной ямы); номер решения n называется квантовым числом. В этом случае говорят, что энергия системы имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот  где w = 2pn — угловая частота) — типично волновое явление. Его аналогии наблюдаются в классической физике, когда волновое движение происходит в ограниченном пространстве. Так, часто'ты колебаний струны или часто'ты электромагнитных волн в объёмном резонаторе дискретны и определяются размерами и свойствами границ области, в которой происходят колебания. Действительно, уравнение Шрёдингера математически подобно соответствующим уравнениям для струны или резонатора.

  Проиллюстрируем дискретный спектр энергии на примере квантового осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (парабола) представляет потенциальную энергию частицы. В этом случае частица при всех энергиях «заперта» внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня ; это наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей: положение частицы на дне ямы (E = 0) означало бы точное равновесие, при котором и х = 0, и р = 0, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях через интервал ; формула для энергии n-го уровня: