Подмножества А и В метрических пространства Х называются близкими (обозначение A dB ), если для любого e > 0 существуют точки a Î А и b Î В, расстояние между которыми < e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB 1 и AB2 Û A (B 1 U B2 );  3) {x }{y } Û x ¹ y ;  4) если АВ , то существует такое множество С В , что А (Х  \С ). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y . Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ® Y , обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u Ì x открытым, если {x }(X \U ) для любой точки х Î U . При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X , порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии — би-компактными расширениями) вХ — компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что А dВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX . В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру.

  Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ´ X . Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ´ X , то есть множеством точек вида (х, х ), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U—1 = {(х, у ); (у, х ) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у ); существует z Î Х такое, что (х, z ) Î U , (z, y ) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U—1 ; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W , что W o W Ì U . Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f : X ® Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ´ f : Х ´ Х ® Y ´ Y любого окружения диагонали V Ì Y ´ Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ´ X . Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ® Y , обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением.

  В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: А dВ тогда и только тогда, когда (A ´ В ) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ´ X . При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.

  3. Алгебраическая топология

  Пусть каждому топологическому пространству Х (из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объект h(X) (группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображению f : X ® Y — некоторый гомоморфизм h(f) : h(X) ® h(Y) (или h(f) : h(Y) ® h(X), являющийся тождественным гомоморфизмом, когда f представляет собой тождественное отображение. Если h(f1  f2 ) = h(f1 )  h(f2 ) (или, соответственно, h(f1  f2 ) = h(f2 ) h(f1 ), то говорят, что h представляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со следующей задачей распространения: для данного непрерывного отображения f : A ® Y подпространства A Ì Х в некоторое топологическое пространство Y найти непрерывное отображение g : X ® Y , совпадающее на A с f , то есть такое, что f = g×i , где i : А ® Х — отображение вложения (i(a) = а для любой точки а Î A ). Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора (кофунктора) h существует такой гомоморфизм (j: h(X) ® h(Y) (гомоморфизм j: h(Y) ® h(X) ), что h(f) = j  h(i) (соответственно h(f) = h(i)  j); им будет гомоморфизм j = h(g) . Следовательно, несуществование гомоморфизма j (хотя бы для одного функтора h ) влечёт несуществование отображения g . К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функтор h , значение которого на шаре E n является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере S n—1 — нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции — непрерывного отображения р : E n ® S n—1 , неподвижного на S n—1 , то есть такого, что композиция р×i, где i : S n‑1 ® E n — отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если р существует, то тождественное отображение группы h(S n—1 ) будет композицией отображений h(i) : h(S n—1 ) ® h(E n ) и h(p) : h(E n ) ® h(S n—1 ), что при тривиальной группе h(E n ) невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n = 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение f : E n ® E n имеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнение f(x) = х имеет в E n хотя бы одно решение (если f(x) ¹ x для всех х Î E n , то, приняв за р(х) точку из S n—1 , коллинеарную точкам f(x) и х и такую, что отрезок с концами f(x) и р(х) содержит х , получим ретракцию р : E n ® S n—1 ). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.