1. От точки А, откуда, как предполагается, это тело начнет свое движение, мы прежде всего должны провести линии АВ и АС произвольной длины (рис. 2). Если эти линии пересекаются, они образуют угол ВАС, ибо АВ и АС линии прямые, и они не пересекаются, когда движения, обозначаемые ими, противоположны. Итак, мы даем воображению или, если хотите, чувствам ясное представление о том, какому пути следовало бы это тело, если бы его толкала только одна из этих сил в сторону В или С.

2. Если сила, движущая это тело к В, равна той силе, которая движет его к С, то на линиях АС и АВ мы должны отложить части 1, 2, 3, 4 и I, II, III, IV, равно отстоящие от А, если сила, движущая это тело к С, равняется удвоенной силе, движущей его к В, тогда на линии АС отложим части вдвое больше тех, что мы отложили на АВ. Если эта сила составляет половину первой силы, отложим половинные части, если она была в три раза больше или меньше, отложим части в три раза большие или меньшие. Деления на этих линиях покажут воображению как величину различных сил, движущих это тело, так и пространство, которое они могут заставить его пройти.

3. Из этих точек деления проводятся параллели к АВ и ВС и получаются линии 1х, 2х, Зх и т. д., равные линиям AI, АП и т. д., и линии lx, ILc, IILc, равные Al, A2, A3, они обозначают пространства, которые может пройти это тело, подвергаясь воздействию каждой из этих сил. Через точки пересечения этих параллелей мы проведем линию АхуЕ, которая представит воображению: во-первых, действительную величину составного движения этого тела, которое, согласно нашему предположению, две различные силы толкают одновременно к В и С в известном отношении, во-вторых, путь, которого оно должно держаться, и, наконец, все точки, в которых оно должно быть в известное время. Итак, эта линия не только помогает удерживать внимание на разыскании всех истин, которые желательно найти по предложенному вопросу, но она даже представляет их решение наглядным и убедительным образом.

Во-первых, эта линия АхуЕ выражает действительную величину составного движения, ибо ясно, что если каждая из сил, производящих его, заставляет это тело подвинуться на фут в минуту, то его составное движение будет два фута в минуту — при условии, что составляющие движения совершенно совпадают. Ибо в этом случае достаточно прибавить АВ к АС, так как силы составляющих движений идут всецело на образование составного движения. Если же эти движения не могут вполне совпасть, то составное движение АЕ будет больше, чем одно из составляющих его АВ или АС, на линию уЕ. Если же эти движения обозначатся линиями, образующими угол CAB, угол в 120 градусов, то составное движение будет равно каждому из равных составляющих. Наконец, если эти движения прямо противоположны, составное движение будет равняться нулю, так как силы составляющих движений равны и они уравновешивают одна другую.

Во-вторых, эта линия АхуЕ представляет воображению путь, по которому должно идти данное тело, и видно наглядно, в какой мере оно будет отклоняться больше в одну сторону. Видно также, что все составные движения совершаются по прямым линиям, если каждое из составляющих движений остается равномерным, хотя бы эти составляющие движения и были не равны между собою, или же если составляющие движения всегда равны между собою, но не равномерны. Наконец, очевидно, что линии, описываемые этим движением, будут кривые, если составляющие движения не равны между собою и не равномерны.

Наконец, эта линия представляет воображению все те точки, в которых должно находиться тело, толкаемое двумя различными силами по двум различным направлениям. Таким образом, можно с точностью определить ту точку, где это тело должно находиться в известный любой момент. Если, например, мы хотим узнать, где будет находиться это тело через три минуты, нам надо лишь разделить линии АВ и АС на части, обозначающие пространство, которое данные силы, каждая в отдельности, могут заставить пройти это тело в одну минуту, взять три такие части на какой-нибудь из этих линий и провести затем от начальной точки четвертого деления Зх параллельную к АВ или от IILc параллельную к АС. Ибо, очевидно, точка х, которую определяют и та и другая параллель на линии АхуЕ, указывает место, где будет находиться это тело по истечении трех минут от начала своего движения. Итак, этот способ рассматривать вопросы не только помогает созерцанию разума, но он даже показывает разуму решение их и дает ему возможность открывать неизвестное с помощью весьма немногих известных вещей.

Так, если мы знаем, например, что тело, бывшее в точке А в такой-то момент, находится в другой момент в точке Е и .что различные силы толкают его по линиям, образующим данный угол, именно ВАС, то этого достаточно, чтобы найти линию его составного движения и различные степени скорости движений, — раз нам известно, что эти движения равны между собою или равномерны. Ибо, когда нам даны две точки на прямой линии, она дана нам вся. Прямую линию АЕ, или составное движение, которое известно нам, можно тогда сравнить с линиями АВ и АС, т. е. с простыми движениями, нам неизвестными.

Предположим опять-таки, что камень движется от А1 к В и его движение равномерно (рис. 3), но в то же время он спускается к точке С, бесконечно далекой от точки А, и движение это не равномерно, т. е. это такое движение, которое, как принято думать, наблюдается при падении тяжелых тел, а именно: пространства, пробегаемые этим камнем, относятся друг к другу, как квадраты времен, в которые он их проходит. Тогда линия, описываемая камнем, неизбежно будет параболой, и можно с полною точностью определить точку, в которой будет находиться камень в известный момент своего движения.

Ибо если в первый момент это тело упадет на два фута от А к С, во второй — оно будет ниже на шесть футов, в третий — на десять, в четвертый — на восемнадцать, и если его движение от А к В, находящемуся на расстоянии шестнадцати футов, равномерно, то, очевидно, линия, описываемая им, будет параболой, параметр которой равняется восьми футам. Ибо квадрат, построенный на ординате (перпендикулярной к диаметру), изображающей время и движение от А к В, будет равен прямоугольнику, построенному на параметре и линии, изображающей неравномерное и ускоренное движение, т. е. квадраты времен будут относиться друг к другу, как части диаметра, заключенные между полюсом и координатами:

16 : 61 :: 2 : 8

64 : 144 :: 8 : 18 и т. д.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть чертеж шестой (см. рис. 3). Ибо полукруги показывают, что А2 относится к А4, т. е. к координате 1х, ей равной, как 1х относится к А8, что А 18 относится к А 12, т. е. к координате 18х, как 18х относится к А8 и т. д., значит, произведения А2 на А8 и А 18, умноженное также на А8, равны квадратам 1х и 18,с и т. д., и следовательно, эти квадраты относятся, как эти прямоугольники.

Параллельные, проведенные к АД и АС и пересекающиеся в точках хх • х, также показывают наглядно путь, по которому должно идти это тело. Они показывают те точки, где оно должно быть в данное время. Они, наконец, представляют глазу действительную величину составного движения и его ускорение в известное время.

Предположим опять-таки, что тело движется неравномерно не только от А к С, но и от А к В. Если неравномерность этого движения остается все время одинаковою, т. е. если неравномерное движение этого тела к С подобно движению его к В или если это движение усиливается в одинаковой пропорции, тогда тело описывает прямую линию.

Но предположим, что ускорение или уменьшение простых движений идет не равномерно — причем безразлично, какое неравенство мы не предположили бы — тогда стоит обозначить простые движения линиями и провести к этим линиям пересекающиеся параллельные — и мы найдем легко линию, которая представит воображению составное движение движений простых. Ибо линия, проходящая через две точки пересечения параллельных линий, представляет составное движение этих неравных движений, не в равной мере ускоряющихся или замедляющихся.