.

  Выведено Л. Эйлером в 1744.

Эйлера уравнения

Э'йлера уравне'ния,

  1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

  Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

Ix + (Iz — Iy) wywz = Mx,

Iy + (Ix —  Iz) wzwx = My, (1)

Iz + (Iy — Ix) wxwy = Mz,

где Ix, Iy, Iz — моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, wх, wу, wz — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx, My, Mz — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , ,   — проекции углового ускорения.

  Кинематические Э. у. дают выражения wх, wу, wz через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид

wx= sin q sinj + cosj,

wу= sin q cosj — sinj, (2)

wz=  + cos q.

  Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

  2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u, u, w и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, у, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, u, w, р, r, как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

  В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р) (или r — const, когда жидкость несжимаема).

  Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

  Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

  С. М. Тарг.

Эйлера формулы

Э'йлера фо'рмулы в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером.

  1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):

eix = cos х + i sin х,

, .

  2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в бесконечное произведение (1740):

.

  3) Тождество Эйлера о простых числах:

,

  где s = 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.

  4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:

(a2 +b2 + c2 + d2)(p2 + q2 + r2 + s2 = x2+y2+z2+t2, где

,

,

,

.

  5) формула Эйлера о кривизнах (1760):

.

  Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R1 и 1/R2 и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.

  Эйлеру принадлежит также Эйлера—Маклорена формула суммирования, Эйлера—Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды.

  Лит. см. при ст. Эйлер.