Сумма S (X) будет наименьшей, если в качестве Х выбрать взвешенное среднее:

Оценка  величины m лишена систематической ошибки, имеет вес Р и дисперсию

В частности, если все измерения равноточны, то Y — арифметическое среднее результатов измерений:

  При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то распределение оценки  мало отличается от нормального с математическим ожиданием m и дисперсией k/P. В этом случае абсолютная погрешность приближённого равенства

меньше

с вероятностью, близкой к значению интеграла

[напр., I (1,96) = 0,950; I (2,58) = 0,990; I (3,00) = 0,997].

  Если веса измерений pi заданы, а множитель k до наблюдений остаётся неопределённым, то этот множитель и дисперсия оценки  могут быть приближённо оценены по формулам:

и

(обе оценки лишены систематических ошибок).

  В том практически важном случае, когда ошибки di подчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности, с которой абсолютная погрешность приближённого равенства

окажется меньше ts (t — произвольное положительное число). Эту вероятность, как функцию от t, называют функцией распределения Стьюдента с n - 1 степенями свободы и вычисляют по формуле

где постоянная Cn-1 выбрана таким образом, чтобы выполнялось условие: In-1(¥) = 1. При больших n формулу (2) можно заменить формулой (1). Однако применение формулы (1) при небольших n привело бы к грубым ошибкам. Так, например, согласно (1), значению I = 0,99 соответствует t = 2,58; истинные значения t, определяемые при малых n как решения соответствующих уравнений ln-1(t) = 0,99, приведены в таблице:

n 2 3 4 5 10 20 30 t 63,66 9,92 5,84 4,60 3,25 2,86 2,76

Пример. Для определения массы некоторого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Yi (в г):

Yi 18,41 18,42 18,43 18,44 18,45 18,46 ni 1 3 3 1 1 1

(здесь ni — число случаев, в которых наблюдался вес Yi, причём n = Sni, = 10). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить pi = ni и в качестве оценки для неизвестного веса m, выбрать величину

Задавая, например, I9 = 0,95, по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что t = 2,262, и поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности приближённого равенства m » 18,431 следует принять величину

  Т. о. 18,420 < m < 18,442.

  Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть n результатов измерений Y1, Y2,..., Yn связаны с m неизвестными величинами x1, x2,..., хm (m < n) независимыми линейными отношениями

где aij — известные коэффициенты, а di — независимые случайные ошибки измерений. Требуется оценить неизвестные величины xj (эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в которой m = x1 и m = ai1 = 1; i = 1,2,..., n).

  Так как Еdi = 0, то средние значения результатов измерений yi, = Eyi. связаны с неизвестными величинами x1, x2,..., хm линейными уравнениями (линейные связи):

  Следовательно, искомые величины xj представляют собой решение системы (4), уравнения которой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин yi и случайные ошибки di обычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать так называемые условные уравнения

  Согласно Н. к. м., качестве оценок для неизвестных xj применяют такие величины Xj, для которых сумма квадратов отклонений

будет наименьшей (как и в предыдущем случае, pi — вес измерения Yi, — величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки di). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. е. при любых значениях Xj разности

не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль, и в этом случае

также не может обратиться в нуль. Н. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения Xj, которые минимизируют сумму S. В тех исключительных случаях, когда условные уравнения совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно Н. к. м.

  Сумма квадратов S представляет собой квадратичный многочлен относительно переменных Xj; этот многочлен достигает минимума при таких значениях X1, X2,..., Хm, при которых обращаются в нуль все первые частные производные:

Отсюда следует, что оценки Xj, полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе так называемых нормальных уравнений, которая в обозначениях, предложенных Гауссом, имеет вид: