всегда —1 £ r £ 1. Однако практическое использование коэффициента К. в качестве меры зависимости оправдано лишь тогда, когда совместное распределение пары (X, Y) нормально или приближённо нормально (см. Нормальное распределение); употребление r как меры зависимости между произвольными Y и Х приводит иногда к ошибочным выводам, т. к. r может равняться нулю даже тогда, когда Y строго зависит от X. Если двумерное распределение Х и Y нормально, то линии регрессии Y по Х и Х по Y суть прямые у = mY+bY (x — mx) и х = mx+bx (у — mY), где  и ; bY и bX именуются коэффициентами регрессии, причём

.

  Так как в этом случае

Е (Y - y (x))2 = s2Y (1 - r2)

и

Е (Y - x (y))2 = s2X (1 - r2)

  то очевидно, что r (корреляционные отношения совпадают с r2 полностью определяет степень концентрации распределения вблизи линий регрессии: в предельном случае r = ± 1 прямые регрессии сливаются в одну, что соответствует строгой линейной зависимости между Y и X, при r = 0 величины не коррелированы.

Корреляция между диаметрами и высотами 624 стволов северной сосны

смм Итого 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 14-17 2 2 5 1 10 18-21 1 3 3 12 15 9 4 47 22-25 1 1 1 3 18 24 29 14 7 98 26-29 7 18 30 43 31 3 2 134 30-33 1 5 18 29 35 18 7 1 114 34-37 1 3 17 33 26 12 6 98 38-41 2 2 10 19 16 4 53 42-45 4 13 6 8 1 32 46-49 3 3 7 6 2 1 22 50-53 1 4 4 2 1 12 54-57 1 1 1 3 58 и более 1 1 Итого 4 6 9 16 41 57 86 108 124 91 55 24 2 1 624 Средний диаметр 18,5 18,6 17,7 20,0 22,9 25,0 27,2 30,1 32,7 38,3 40,0 41,8 49,5 43,5 31,2

При изучении связи между несколькими случайными величинами X1,..., Xn пользуются множественными и частными корреляционными отношениями и коэффициентами К. (последними по-прежнему в случае линейной связи). Основной характеристикой зависимости являются коэффициенты rij — простые коэффициенты К. между Xi и Xj, в совокупности образующие корреляционную матрицу (rij) (очевидно, rij = rji и rkk = 1). Мерой линейной К. между X1 и совокупностью всех остальных величин X2,..., Xn служит множественный коэффициент К., равный при n = 3

.

Если предполагается, что изменение величин X1 и X2 определяется в какой-то мере изменением остальных величин X3,..., Xn, то показателем линейной связи между X1 и X2 при исключении влияния X3,..., Xn; является частный коэффициент К. X1 и X2 относительно X3,..., Xn, равный в случае n= 3

Множественные и частные корреляционные отношения выражаются несколько сложнее.

  В математической статистике разработаны методы оценки упомянутых выше коэффициентов и методы проверки гипотез об их значениях, использующие их выборочные аналоги (выборочные коэффициенты К., корреляционные отношения и т. п.). См. Корреляционный анализ.

  Лит.: Дунин- Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (Общая часть), М., 1955; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Хальд А., Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956; Ван дер Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Митропольский А. К., Техника статистических вычислений, 2 изд., М., 1971.

  А. В. Прохоров.

Приближённая линия регрессии для зависимости среднего диаметра северной сосны от высоты.