Научное мышление раскрывает суть вещей, закономерность их возникновения и развития через выявление их О. с др. вещами. Характеризуя элементы диалектики, В. И. Ленин указывал на необходимость исследования О.: «Вся совокупность многоразличных отношений этой вещи к другим», «отношения каждой вещи... не только многоразличны, но всеобщи, универсальны. Каждая вещь (явление, процесс...) связаны с каждой; бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отношений...» (там же, с. 202—03). В связи с возрастанием роли системноструктурных методов исследования категория О. приобретает всё большее значение в современной науке.

  А. Г. Спиркин.

  О. в логике. В содержательных формулировках естественных языков О. выражается обычно сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или одно подлежащее с дополнениями); в зависимости от числа этих подлежащих (и дополнений) их называют членами, субъектами или элементами данного О.; различают двуместные (бинарные, двучленные) О. («a меньше b», «Ока короче Волги», «рельсы параллельны между собой» и т.п.), трёхместные (тернарные, трёхчленные; «точка A лежит между В и С», «5 есть сумма 2 и 3»), четырёхместные («числа x1, у1, и y2 пропорциональны»), вообще n-местные (n-арные, n-членные) О. Эти содержательные представления реализуются в точных терминах теории множеств (алгебры) и математической логики; первое из этих уточнений отражает экстенсиональный (объёмный) аспект понятия О., второе — интенсиональный (смысловой, содержательный). В теоретико-множественных терминах бинарным (n-арным) О. называется множество упорядоченных пар (соответственно упорядоченных n-ок) членов некоторого множества (поля данного О.). Если упорядоченная пара (х, у) принадлежит некоторому О. R, то говорят также, что х находится в О. R к у [символически: R (xy) или xRy]; множество первых элементов упорядоченных пар, входящих в О. R, составляет его область определения (отправления), множество вторых элементов — область значений (прибытия); аналогичные понятия вводятся и для многоместных О. Отношение, состоящее из пар (у, х), полученных перестановкой членов данного О. R пар (х, у), называется обратным к R и обозначается через R –1; область значений одного из этих взаимно-обратных О. [термин оправдан тем, что всегда (R –1)–1 = R] служит областью определения другого, а область определения — областью значений. Поскольку О. являются частными случаями множеств, для них обычным образом вводятся теоретико-множественные операции, в частности объединение, пересечение и дополнение О. (см. Множеств теория). Рассмотрим некоторые свойства и основные типы важнейшего (для приложений и теоретических построений) класса О. — бинарных О.

  Свойства бинарных О. Пусть R = . Если для любого х верно xRx, то R называется рефлексивным (примеры: О. равенства чисел — каждое число равно самому себе, подобие треугольников и т.п.). Если для любого х xRy не имеет места (символически: ù xRy), то R называется антирефлексивным, или иррефлексивным (например, О. перпендикулярности прямых — никакая прямая не перпендикулярна самой себе). Если для любых не равных между собой х и у одно из них находится в отношении R к другому (т. е. выполнено одно из трёх соотношений xRy, х = у или yRx), то R называется связанным (например, О. , поскольку никакой объект не больше и не меньше себя). Если для любых х, у и z из xRy и yRz следует xRz, то R называется транзитивным (таковы, например, О. = или