Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость), причём

     (8)

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F: f (x) ® g (u) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x), — ¥ < x < ¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде

.     (9)

  При некоторых условиях на f (x) справедлива формула Пуассона

,

находящая применение в теории тэта-функций.

  Если функция f (x) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u  = v + iw. Например, если существует , а > 0, то Ф. п. определено при |w| < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование)

 .

  Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x) таких, что (1 + |x|)–1f (x) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).

  Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции, это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп. Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j(x) Стилтьеса интегралом

     (10)

и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g (u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u1,..., un, x1,...,xn было

(теорема Бохнера — Хинчина).

  Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля, широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.

  Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

Фурье ряд

Фурье' ряд, тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то её Ф. р. имеет вид

,

где a, an, bn (n ³ 1) — Фурье коэффициенты. В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2p-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).

  Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций, а именно — по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)

обращают в минимум интеграл

,

где tn (x) — произвольный тригонометрический полином порядка £ n, а функция f (x) интегрируема с квадратом. При этом

 ,

так что функции f (x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций).

  Для любой интегрируемой функции f (x) коэффициенты Фурье an, bn при n ® ¥ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x) интегрируем, то ряд  сходится и имеет место равенство Парсеваля

.

  Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел an, bn со сходящимся рядом  существует функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.

  Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f (x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x) непрерывна (К. Жордан). Если f (x) непрерывна и её модуль непрерывности w(d, f) удовлетворяет условию , то её Ф. р. равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).