2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел  (или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x|| такое, что всегда ||x|| ³ 0 и ||x|| = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

||lx || = |l| ||x||, l Î  x, если ||xn — x||  0.

  В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x, у Î Х называется комплексное число (x, у) такое, что всегда (x, x) ³ 0 и (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

 , l, m Î  является нормой элемента x. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что  для xm, xn Î X, следует существование предела , также являющегося элементом Х). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

  Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства. Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в , норма ||x|| = ; банахово пространство Lp (T) всех суммируемых с р-й (p ³ 1) степенью функций на Т, норма ; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что , здесь   (множеству целых чисел), норма ||x|| =(å|xj|p)1/p; в случае p = 2 пространства l2 и L2 (T) гильбертовы, при этом, например, в L2(T) скалярное произведение ; линейное топологическое пространство D (), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а, b)]; при этом xn  x, если xn (t) равномерно финитны [т. е. (а, b) не зависит от n] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t).

  Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2: векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.

  С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x, у Î Н называются ортогональными (x ^ y), если (x, у) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н, т. е. такой вектор xF, что x—xF^f для любого f Î F. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов ej, j Î , из Н таких, что ||ej|| = 1, ej ^ ek при j ¹ k, и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение

x = åxjej (1)

где xj = (x, ej), ||x|| = å|xj|2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L2(0, 2p) и положить , j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t) Î L2(0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l2 ' {xj}, j Î  гильбертовых пространств Hj — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x, x) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x, для которых (x, x) = 0; тензорное произведение  — образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x1) к функциям многих переменных f (x1,..., xq); проективный предел  банаховых пространств — здесь  (грубо говоря), если  для каждого a; индуктивный предел  банаховых пространств X1 Ì X2 Ì..., здесь , если все xj, начиная с некоторого j, лежат в одном Xj0, и в нём .  Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Нa, обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что hb Ì Нa, и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D () — пример ядерного пространства].