П. п. т. (метода кривых безразличия, теории выявленных предпочтений).

  Лит.: Hilferding R., Böhm-Bawerks Marx-Kritik, «Marx — Studien», Bd 1, W., 1904; Блюмин И. Г., Критика буржуазной политической экономии, т. 1, М., 1962; Козлова К., Энтов Р., Теории цены, М., 1972.

  Ю. Б. Кочеврин.

Предельной производительности теория

Преде'льной производи'тельности тео'рия, см. в ст. Производительности теории.

Предельные теоремы

Преде'льные теоре'мы теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т. — теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) — относятся к распределению отклонений частоты появления некоторого события Е при n независимых испытаниях от его вероятности р (0 < р < 1). Частотой называется отношение m/n, где m — число наступлений события Е при n испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность pk наступления Е в k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n ® ¥ распределения отклонений частоты m/n от среднего арифметического  вероятностей pk (1 £ k £ n):

(см. Больших чисел закон). Если обозначить через Xk случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Е в k-м испытании, и значение, равное нулю при его непоявлении, то m можно представить в виде суммы

m = X1 + X2 +... + Xn,

что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи общих П. т., относящихся к суммам независимых случайных величин (закона больших чисел и центральной предельной теоремы).

  Закон больших чисел. Пусть

X1,  X2,..., Xn,...     (*)

— какая-либо последовательность независимых случайных величин, sn — сумма первых n из них

sn = X1 + X2 +... + Xn,

An и B2n — соответственно математическое ожидание

An= Е sn = Е X1 + E X2 +... + EXn,

и дисперсия

B2n= D sn -= D X1 +D X2 +... + DXn,

суммы sn. Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону больших чисел, если при любом e > 0 вероятность неравенства

стремится к нулю при n ® ¥.

  Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда величины Xn имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины Xn  должны иметь конечные математические ожидания.

  Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых z1 и z2 вероятность неравенства

z1Bn