Rn = I  - Sn.

  Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f (x) параметров: n, xk, Ak (k = 1, 2,..., n), которые выбирают так, чтобы при f Î W погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f Î W характеризует величина rn (W) — точная верхняя грань ½Rn½ на множестве W:

.

  Пусть

  Квадратурная формула, для которой Wn (W) = rn (W), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

  Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть wq (x), q = 0, 1,..., — полная система функций в классе W, и любая f (x) Î Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций wq (x). Пусть l (wq), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого n параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

I (wq) = Sn (wq), q = 0, 1,..., m,

для возможно большего значения m. В методе Ньютона — Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы xk, а определению подлежат веса Ak. В методе Чебышева на веса Ak заранее накладываются некоторые связи [например, Ak = (b - а)/n], а определению подлежат узлы xk. В методе Гаусса определяются и веса Ak и узлы xk. В методе Маркова j узлов (j