Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.

  Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f (x) полиномами akjk (x) в метрике С называется величина

En = min || f - akjk (x)||c,

где минимум берётся по всем числам а1,..., an. Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xn+1 на отрезке [—1, 1] в метрике С алгебраическими многочленами степени n равно 1/2n, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

xn+1 -  = (1/2n) cos (n + 1) arccosx.

  Следующая теорема Чебышева указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен , в том и только в том случае является многочленом наилучшего приближения непрерывной функции f в метрике С [—1, 1], если существуют n + 2 точки -1 £ x1 < x2