f (x ) = {[(a x + a 1 )х + а 2 ]х + ...}х + а n

и последовательном графическом выполнении действий, начиная с выражения, заключённого во внутренние скобки.

  Графическое решение уравнения f (x ) = 0 заключается в вычерчивании графика функции у = f (x ) и нахождении абсцисс точек пересечения кривой с осью Ox , которые и дают значения корней уравнения. Иногда решение можно значительно упростить, если представить уравнение в виде j1 (x ) = j2 (x ) и вычертить кривые y = j1 (x ) и y = j2 (x ). Корнями уравнения будут значения абсцисс точек пересечения этих кривых (на рис. 3 показано нахождение корня x ).

  Так, для решения уравнения третьей степени z 3 + az 2 + bz + c = 0 его приводят к виду x 3 + px + q = 0 заменой z = х — а /3, затем уравнение представляют в виде x 3 = —px — q и вычерчивают кривую у = х 3 и прямую у =—px — q . Точки их пересечения определяют корни x 1 , x 2 , x 3 уравнения. Построение удобно тем, что кубическая парабола у = х 3 остаётся одной и той же для всех уравнений третьей степени. На рис. 4 решено уравнение x 3 — 2,67x — 1 = 0. Его корни x 1 = —1,40, x 2 = — 0,40, x 3 = 1,80. Аналогично решается уравнение четвёртой степени z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d = 0. Подстановкой z = x — a /4 его приводят к виду x 4 + px 3 + qx + s = 0 и затем переходят к системе уравнений: у = х 2 , (х – х )2 + (у — у )2 = r 2 , вводя переменное y . Здесь x = —q /2, у = (1 – р )/2 и  Первое уравнение даёт на плоскости параболу, одну и ту же для всех уравнений четвёртой степени, второе — окружность радиуса г , координаты центра x , y которой легко подсчитать по коэффициенту данного уравнения. На рис. 5 решено уравнение x 4 — 2,6x 2 — 0,8х — 0,6 = 0 (для него x = 0,4; y = 1,8, r = 2). Его корни x 1 = — 1,55, x 2 = 1,80. Как видно из рис. , уравнение др. действительных корней не имеет.

  Графическое интегрирование. Вычисление определенного интеграла  основано на замене графика подинтегральной функции y = f (x ) ступенчатой ломаной. На рис. 6 изображена криволинейная трапеция aABb , площадь которой численно равна вычисляемому интегралу. Для построения ломаной криволинейную трапецию разрезают прямыми, параллельными оси Оу , на ряд полос — элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют отрезком, параллельным оси Ox , так, чтобы получающиеся прямоугольники имели примерно ту же площадь, что и соответствующие элементарные криволинейные трапеции (ломаная изображена на рис. 6 жирной линией). Площадь, ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямоугольников, т. е.  Dx k — длина основания k- гo прямоугольника, y k — одно из значений функции у = f (x ) на отрезке Dx k , равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за приближённое значение интеграла  Сумму  вычисляют графически так, как уже было указано. На рис. 7 выполнены все построения, необходимые для вычисления интеграла  где функция y = f (x ) задана графиком AC ...C 4 B . После разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходящими через точки A 1 , ..., A4 , построены прямоугольники. Высоты их, ординаты точек C , ..., C 4 , снесены на ось Оу . Полученные точки P , ..., P 4 соединены с точкой Р (OP = 1). Затем, начиная от точки а , построена ломаная aB 1 ... B 5 , звенья которой параллельны соответствующим отрезкам PP , PP 1 , ..., PP 4 . Величина интеграла численно равна ординате точки B 5 . Для построения графика первообразной функции y = f (x ), т. е.  достаточно соединить плавной кривой вершины ломаной, получаемой при вычислении  (на рис. 7 точки B , B 1 , ..., B 5 ).

  Графическое дифференцирование . График производной можно строить по значениям тангенса угла наклона касательной к графику данной функции в различных его точках. Точность такого построения мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных. График производной строят также по секущим, повторяя в обратном порядке процесс графического интегрирования, изображенный на рис. 7 . Для этого график функции (рис. 8 ) разбивают на части прямыми, параллельными оси Оу и проведёнными через равные расстояния Dx. Через точки деления A 1 , A 2 , ... проводят отрезки AB 1 , A 2 B 2 , …, параллельные оси Ox . Отрезки B 1 A1 , B 2 A 2 , ... равны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси Ox . По полученным точкам  строят ступенчатую ломаную. Затем проводят кривую, следя за тем, чтобы криволинейные треугольники в пределах одной ступени ломаной имели равные площади. Эта кривая и является графиком производной.

  Графическое интегрирование дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение первого порядка dy /dx = f (x , у ) определяет на плоскости поле направлений. Задача интегрирования уравнения заключается в проведении кривых, касательные к которым имеют направления поля. Различные приёмы графического интегрирования состоят в последовательном построении интегральных кривых по касательным, направления которых заданы, и в известной мере повторяют численные методы интегрирования (см. Приближённое решение дифференциальных уравнений).

  Лит.: Головинин Д. Н., Графическая математика, М. — Л., 1931; Рунге К., Графические методы математических вычислений, пер. с нем., М. — Л., 1932.