I2:

(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы  и  не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , , ):

II1. .

II2. .

II3. .

II4. .

Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например: .

При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:

.

Далее, геометрически сумма нескольких векторов  может быть получена следующим образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов, последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего – с концом второго и т.д.); тогда вектор  будет иметь своим представителем «замыкающий» направленный отрезок, идущий от начала первого к концу последнего (рис. 5). (Заметим, что если при таком последовательном откладывании получается «замкнутая векторная ломаная», то .)

Рис. 5

III. Умножение вектора на число. Пусть  - ненулевой вектор и k - отличное от нуля число. Через  обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора  равна ; б) вектор  параллелен вектору , причем его направление совпадает с направлением вектора  при k>0 и противоположно ему при k<0 (рис. 6). Если справедливо хотя бы одно из равенств , k = 0, то произведение  считается равным . Таким образом, произведение  определено для любого вектора  и любого числа k.

Рис. 6

Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов ,  и любых чисел k, l) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:

III1. .

III2. .

III3. .

III4. .

Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.

а) Если M - такая точка отрезка AB, что |AM| : |BM| = k, то для любой точки O справедливо равенство , в частности если M - середина отрезка AB, то .

б) Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то ; кроме того, для любой точки O справедливо равенство  (обратные теоремы также справедливы).

в) Пусть M - точка прямой l и  - ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка A в том и только в том случае принадлежит прямой l, если  (где k - некоторое число).

г) Пусть M - точка плоскости α и ,  - ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка A в том и только в том случае принадлежит плоскости α, если вектор  выражается через  и , т.е. .

Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.

IV. В пространстве существуют такие три вектора , , , что ни один из них не выражается через два других; любой четвертый вектор  выражается через эти три вектора: .

Например, если , ,  - три ненулевых вектора, направленных вдоль ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, то эти векторы , ,  обладают свойством IV (рис. 7).

Рис. 7

V. Скалярное произведение  векторов  и  определяется равенством: